第二十次福建省《高等代数》与《线性代数》课程建设研讨会于2018年11月10日在莆田学院召开，参加这次会议的有来自复旦大学谢启鸿教授、吉林大学杜现昆教授、西安电子科技大学高淑萍教授、东南大学陈建龙教授和淮北师范大学等几位老师、以及我省包括厦门大学、福州大学、福建师范大学、福建农林大学等22所学校的专家与学者任课教师，共92人，我院管强、祁辉、赵绍玉、王佑恩四位老师有幸也参加了这次会议。

本次会议的主题是研讨“《高等代数》与《线性代数》”的在线课程教学设计。研讨会的宗旨是：建立《高等代数》与《线性代数》课程建设交流平台，互相学习、共同促进，提高全省《高等代数》与《线性代数》课程的师资水平与教学质量，更重要的是能让大家充分理解在线课程。会议期间，代表们从《高等代数》与《线性代数》课程建设的改革、教材内容处理、教学方法改革、教学实践体会及《高等代数》与《线性代数》在线课程建设问题进行了广泛的切蹉与交流，共有11位代表在会上作了中心发言。在会上，高等教育出版社李晓鹏老师回顾高等教育出版社出版的所有数学相关的教材，然而随着互联网时代的到来，出版社提出一种新形态教材，所谓新形态教材是以纸介质教材为核心，数字化资源相配合的新型教材。通过纸介质教材和数字化资源的一体化设计，充分发挥纸介质教材体系完整、数字化资源呈现多样和服务的个性化等特点，并通过二维码等网络技术，新颖的版式设计和内容编排建立纸介质教材和数字化资源的有机联系，支持学习者用移动设备进行学习，形成相互配合、相互支撑的知识体系，从而提高教材的适用性和服务课程教学的能力。复旦大学谢启鸿教授从高等代数的教材、学习指导书、博客、在线课程、教学、考试命题、教学研究、教学效果八方面较为系统地阐述自己在《高等代数》课程建设中如何培养学生的能力，分别从对教材的理解、指导书的设计、博客、考试命题等全方面提升学生的能力；吉林大学杜现昆教授较系统地阐述了《高等代数》的三个代表思想：“运算”、“分类”、“对应”，让参会者对《高等代数》有了更进一步的认识；厦门大学林亚南教授回顾了二十次研讨会的主题思想，提出今后的会议该怎么进行；西安电子科技大学高淑萍教授就《线性代数》考核方式在线平台建设和实践进行了详细介绍，在发言中，提出《线性代数》的新体系——“三三”课程体系：“三元化”教学体系、“三维度”教学方法、“三阶段”考试方式，让参会者对课程改革有了更进一步的认识，更加体现了课程改革的多样化；厦门大学刘轼波教授将《线性代数》融入数学分析，介绍了线性代数在数学分析中的应用，而厦门理工学院陈雪副教授将《线性代数》融入自己的教学内容和科研内容，莆田学院晏瑜敏副教授讨论了矩阵的秩和非零特征值个数差，让我们更加深刻认识到学科之间的关系是微妙的，和《线性代数》广泛的应用；东南大学陈建龙教授就《线性代数》的教学、研究、教材及MOOC四个方面介绍了在线课程的改革。还有的老师介绍了自己在《高等代数》与《线性代数》在线课程建设的一些做法，如厦门大学陈桂芝副教授介绍了《线性代数》在线课程的制作；集美大学朱荣坤副教授介绍了他们团队的《线性代数》在线课程的建设与思考。这些任课教师教学设计的分享让参会者体会到课程研究和在线课程改革的重要性。

通过参加这次会议，我们四位老师对《高等代数》与《线性代数》课程教学产生了一些新的想法：

1. 对高等代数课程内容的再认识

   《高等代数》以三大问题为切入点——线性方程的求解问题、如何使线性变换的矩阵表示更简单问题、二次超曲面的精细分类问题，矩阵是贯穿《高等代数》的主线之一。

2. 而矩阵的乘法不满足乘法交换律，与将矩阵、线性空间、线性变换、特征值、相似标准形、内积空间的教学起到串联的作用。一般情况下，，然而与有以下性质：

   （1）设为n阶方阵，则，有相同的非零特征值。因为

   ，

   和，

   则。

   （2）设为n阶方阵，则。

   例：设为n阶方阵，如果，那么AB=BA。一般情况下，是不成立的。例：，则，但是。

   （3）设为n阶方阵，则。

3. 可逆矩阵为主线

   设为n阶方阵，则以下条件等价

   （1）为可逆矩阵；（矩阵）

   （2）；（行列式）

   （3）；（秩）

   （4）的行（列）向量组线性无关；（向量组）

   （5）的行（列）向量组为的基；（线性空间）

   （6）为的两组基下的过渡矩阵；（线性空间）

   （7）的解空间的维数为0；（线性空间）

   （8）的列空间的维数为n；（线性空间）

   （9），其中为初等矩阵；（矩阵）

   （10）可经初等变换化为；（初等变换）

   （11）与等价；（矩阵）

   （12）只有零解；（线性方程组）

   （13）有唯一解，对任意；（线性方程组）

   （14）伴随矩阵为可逆矩阵；（矩阵）

   （15）的特征值均非零；（特征值）

   （16）为正定矩阵。（正定性）

4. 三个代表思想为主线

   《高等代数》的三个代表思想是指“运算”、分类和对应。“运算”包含二元运算、二元关系和映射，二元运算的性质有结合律、交换律、单位元和可逆元；二元关系有反身性、传递性、对称性和反对称性；映射的性质有单射、满射和双射。比如说，多项式的运算有加法、乘法、最大公因式、次数等，而这些运算及其关系将多项式的基本内容都联系在一起，比如说，多项式的因式分解就是多项式乘法和次数运算之间的关系。

矩阵的运算包含加法、乘法、数乘、转置、逆、初等变换、行列式、秩等，如做一次初等变换相当于乘以一个初等矩阵，可逆矩阵可以转换成若干个初等矩阵的乘积；而线性空间和欧氏空间本身就自带加法、数乘及内积运算。矩阵的分类有通过等价、相似、合同关系进行分类；线性空间的分类包含同构、维数、n元列空间；二次型的分类通过合同关系实现的。向量空间的对应关系有每一个向量都有唯一的一个坐标与之对应；线性变换都存在一个方阵与之对应，线性方程组与增广矩阵相对应、二次型与对称方阵相对应。总之，三个代表思想高度概括了《高等代数》中的重要内容，如下表

掌握三个代表思想对于教、学有很多的指导意义，在教学过程中充分运用三个代表思想可事半功倍。

1. 对《线性代数》课程教学方法的探讨

   （1）注重《线性代数》的应用

   由于线性代数具有高度的抽象性,严密的逻辑性,广泛的应用性和结论的确定性,因此,教师在讲授线性代数的教学过程中，应体现内容上的严谨性、讲解中的通俗性和方法的实用性。特别应注意跨学科之间的应用性。比如,厦门理工学院的陈雪副教授将矩阵的相关思想和方法应用的“不确定多属性决策方法”和“有限维李代数的根空间分解”；厦门大学刘轼波教授将克莱姆法则与数学分析中的超曲面的法失联系在一起，雅可比行列式的符号与定向的关系，应用《线性代数》求解Cauchy-Binet公式与重积分换元公式，超曲面上预定切失的曲线问题。通过将跨学科的知识点联系在一起，能帮组学生更好的理解知识点，同时也激发学生学习《线性代数》课程的兴趣。线性代数与各个学科之间的关系，如下图：

   （2）注重课程的改革

   针对《高等代数》这种概念多、定理多、学时少、比较抽象的学科。由于互联网、信息技术、数学软件的出现，《高等代数》和《线性代数》的教学改革势在必行，教学改革重在教与学的内含设计，教学内容的多形式呈现、教学手段的多类型采用、教与学的多阶段测试、教学过程的多模式互动等。比如，厦门大学陈桂芝副教授制作《线性代数》的在线课程建设，集美大学朱荣坤副教授分享《线性代数》在线课程建设的几点思考，复旦大学谢启鸿教授通过教材、教学、考试命题等进行教学改革，而西安电子科技大学高淑萍教授在改革考试方法做了详细的介绍。总之，通过几位老师的讲解，使我们了解到“在线课程”可以使教师在课堂内外教育教学过程中围绕某个知识点（重点难点疑点）或技能等单一教学任务进行教学，这些知识点或技能，可以是教材解读、题型精讲、考点归纳，也可以是方法传授、教学经验等技能方面的知识讲解和展示。这种教学方式具有目标明确、针对性强和教学时间短的特点。相较于传统课程，在线课程有着自身的优点。这些老师还介绍了在线课程制作流程和制件时要注意的事项。

   总之，通过参加本次课程建设研讨会，既使我们对代数课程的教学有了新的认识，又使我们对“在线课程”这一全新的教学模式有了深入的认识。有助于我们在今后的教学过程中，利用这一全新的教学模式，提高课程教学效果和质量。

                                                                                       管强、祁辉、赵绍玉、王佑恩